Các điểm (A"(-4; 1), B"(2;4), C"(2, -2)) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh (BC, CA) cùng (AB) của tam giác (ABC). Tính tọa độ đỉnh của tam giác (ABC). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác (ABC) và (A"B"C") trùng nhau.


Bạn đang xem: Bài 7 trang 27 sgk hình học 10

Phương pháp giải - Xem bỏ ra tiết

*


Xem thêm: Điểm Chuẩn Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật 2015, Trường Đh Sư Phạm Kỹ Thuật Tp

+) (I) là trung điểm của (AB) thì: (left{ eginarraylx_I = fracx_A + x_B2\y_I = fracy_A + y_B2endarray ight..)

+) (G) là giữa trung tâm tam giác (ABC) thì: (left{ eginarraylx_G = fracx_A + x_B + x_C3\y_G = fracy_A + y_B + y_C3endarray ight..)


Lời giải chi tiết

*

Giả sử (A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C))

(A") là trung điểm BC ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_A" = fracx_B + x_C2\y_A" = fracy_B + y_C2endarray ight.)

( Leftrightarrow left{ eginarrayl - 4 = fracx_B + x_C2\1 = fracy_B + y_C2endarray ight.) ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_B + x_C = - 8,left( 1 ight)\y_B + y_C = 2,left( 2 ight)endarray ight.)

(B") là trung điểm CA ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_B" = fracx_C + x_A2\y_B" = fracy_C + y_A2endarray ight.)

( Leftrightarrow left{ eginarrayl2 = fracx_C + x_A2\4 = fracy_C + y_A2endarray ight.) ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_C + x_A = 4,left( 3 ight)\y_C + y_A = 8,left( 4 ight)endarray ight.)

(C") là trung điểm AB ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_C" = fracx_A + x_B2\y_C" = fracy_A + y_B2endarray ight.)

( Leftrightarrow left{ eginarrayl2 = fracx_A + x_B2\ - 2 = fracy_A + y_B2endarray ight.) ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_A + x_B = 4,left( 5 ight)\y_A + y_B = - 4,left( 6 ight)endarray ight.)

Từ (1), (3) cùng (5) ta bao gồm hệ:

(left{ eginarraylx_B + x_C = - 8\x_C + x_A = 4\x_A + x_B = 4endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx_C = - 8 - x_B\ - 8 - x_B + x_A = 4\x_A + x_B = 4endarray ight.) ( Leftrightarrow left{ eginarraylx_C = - 8 - x_B\x_A - x_B = 12\x_A + x_B = 4endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx_A = 8\x_B = - 4\x_C = - 4endarray ight.)


Từ (2), (4) và (6) ta bao gồm hệ:

(left{ eginarrayly_B + y_C = 2\y_C + y_A = 8\y_A + y_B = - 4endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayly_C = 2 - y_B\2 - y_B + y_A = 8\y_A + y_B = - 4endarray ight.) ( Leftrightarrow left{ eginarrayly_C = 2 - y_B\y_A - y_B = 6\y_A + y_B = - 4endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayly_A = 1\y_B = - 5\y_C = 7endarray ight.)

Vậy (Aleft( 8;1 ight),Bleft( - 4; - 5 ight),Cleft( - 4;7 ight)).

Gọi (G(x_G;y_G)) là trung tâm của tam giác (ABC)

Khi đó ta có:

(left{ matrix x_G = x_A + x_B + x_C over 3 = 8 - 4 - 4 over 3 = 0 hfill cr y_G = y_A + y_B + y_C over 3 = 1 - 5 + 7 over 3 = 1 hfill cr ight.)

Vậy (G(0;1)) (*)

Gọi (G"(x_G";y_G")) là trọng tâm của tam giác (A"B"C")

Khi kia ta có:

(left{ matrix x_G" = x_A" + x_B" + x_C" over 3 = - 4 + 2 + 2 over 3 = 0 hfill cr y_G" = y_A" + y_B" + y_C" over 3 = 1 + 4 - 2 over 3 = 1 hfill cr ight.)